Теория игр: от холодной войны до пенальти

Если спросить у непредвзятого человека: «Про что, как ты думаешь, теория игр?» – то почти наверняка все игры, которые он назовет, окажутся играми с нулевой суммой, они еще называются антагонистическими. Шахматы – классический пример игры с нулевой суммой. В шахматах разыгрывается одно очко, либо выигрывают белые 1:0, либо черные 0:1, либо ничья – по 1/2 очка. Все, что белые выиграли, черные проиграли: каждое очко, каждую половинку очка. Это всегда один против другого. 

Такие игры хорошо исследованы: можно, например, доказать, что в каждом из равновесий Нэша (см. врез) тот или иной игрок получает один и тот же «платеж» (то есть условный выигрыш). То есть если в каком-то равновесии платеж первого игрока равен, например, двум, то и в любом другом равновесии он тоже равен двум. Таким образом, исход игры с нулевой суммой настолько предсказуем, насколько на предсказуемость вообще можно надеяться – ясно, кто из игроков в среднем выигрывает, а кто проигрывает, и сколько.

Игрой с нулевой суммой часто ошибочно считают международную торговлю. Например, американский обыватель часто считает, что если Китай богатеет благодаря торговле с США, если Китаю это выгодно, то по определению это означает, что Америка от этого теряет. «Если им выгодно с нами торговать, значит, они крадут у нас рабочие места», – так обычно говорят в таких случаях. На самом деле международная торговля – это, конечно, игра с ненулевой суммой, то есть игра, в которой выигрыш могут получить оба игрока (и получают, в той мере, в которой участие в международной торговле является добровольным). В теории международной торговли легко доказать, что если вы «маленькая» страна на том или ином рынке – в том смысле, что у вас нет надежды повлиять на мировую цену на тот или иной товар, – то нужно немедленно отменить импортные пошлины на этот товар. Ими вы наказываете только себя.

С точки зрения экономической теории наибольший интерес представляют как раз игры с ненулевой суммой, но тут предсказания куда менее однозначны.

Как найти место встречи

Говорить о таких играх удобно начать с класса игр, которые можно назвать «играми координации», то есть такими играми, в которых интересы игроков полностью совпадают. В каком-то смысле это игры, противоположные по своим свойствам играм с нулевой суммой. Если в антагонистических играх выигрыш одного игрока всегда равен проигрышу другого (здесь и далее мы рассматриваем только игры с двумя игроками), то в координационных играх выигрыш одного равен выигрышу другого. В самом простом случае эти выигрыши равны либо оба единице, либо оба нулю. Можно представить себе такую ситуацию: вам нужно встретиться с незнакомым человеком в Москве. Вы зафиксировали дату, но не успели договориться о времени и месте. У вас есть фотография этого человека и, главное, понимание, что он тоже хочет с вами встретиться. Куда и к которому часу следует прийти, чтобы с максимальными шансами встреча состоялась? У этого вопроса нет «правильного» ответа, нет «оптимальной» стратегии: мы считаем, что «платеж» будет одинаковым независимо от того, в какой точке и в какой момент игроки встретятся, – лишь бы они встретились.

Я много лет задаю эту задачу студентам – прошу написать время и место на листе бумаги. Подавляющее большинство выбирает полдень (на втором месте с большим отрывом – 18 часов). И опять же подавляющее большинство выбирает Красную площадь. В Москве, таким образом, легко идентифицируется так называемая «фокальная точка» – такое выделенное место, которое всем кажется наиболее подходящим для встречи. К сожалению, эта особенность Москвы не транслируется автоматически на другие города, особенно такие, про которые игрок может мало что знать (или не ожидать от партнера, что тот много знает), – попробуйте, например, Якутск или Будапешт. Таким образом, даже для координационных игр предсказательная сила теории невелика. Тем более безнадежной выглядит задача в общем случае игры с ненулевой суммой.

Семейный спор и биполярный мир

Классический пример такой игры – «семейный спор». Муж и жена должны, не сговариваясь, выбрать одно из двух развлечений на вечер – футбол или балет. Выигрыш – два очка за компанию плюс одно очко за любимое развлечение. Таким образом, если оба выбирают футбол, жена получает 2 очка (только компания), а муж 2+1=3 очка (компания плюс любимое развлечение), если оба – балет, то наоборот. Если муж выбирает футбол, а жена – балет, то они получают по одному очку, а если наоборот – никто ничего не получает. Здесь сразу видны два равновесия (оба выбирают футбол, или оба – балет), но теория не дает никаких оснований предпочесть какое-то одно из них.

Теория игр с ненулевой суммой приобрела особенную актуальность во время холодной войны между СССР и США. Это очевидная игра с ненулевой суммой – с того момента, как каждая из сторон получила достаточное количество оружия, чтобы уничтожить жизнь на всей планете, стало ясно, что, несмотря на очевидное соперничество, обе стороны заинтересованы в том, чтобы избежать вооруженного конфликта, – в этом цели игроков совпадали. Но при этом каждая из сторон продолжала быть заинтересованной в том, чтобы максимально расширить сферу своего влияния, – и в этом цели игроков были противоположными. Ситуация осложнялась тем, что в случае обострения конфликта решение требовалось принимать практически моментально. Человечество впервые в своей истории оказалось поставленным в такие условия, что это спровоцировало рост интереса к теоретико-игровым исследованиям.

Важнейшей работой, посвященной теоретическому анализу холодной войны, является вышедшая в 1960 г. книга Томаса Шеллинга «Стратегия конфликта». Впоследствии Шеллинг получил за нее Нобелевскую премию по экономике (потому что традиционно теория игр является частью именно экономической науки). Я всячески рекомендую эту книгу каждому, кто интересуется теорией стратегических взаимодействий, но ни в этой книге, ни в дальнейшем развитии теории игр не удалось добиться убедительных предсказаний исхода в играх с ненулевой суммой.

Проблема игровых экспериментов и футбол

Обычно предсказания теории игр тестируют в лаборатории, и таких экспериментов сделано гигантское количество. Но со всеми этими экспериментами всегда возникают одни и те же проблемы. Люди могут плохо понять правила или иметь недостаточную мотивацию хорошо играть в лабораторных условиях – например, из-за скромного размера обещанного вознаграждения. Поэтому чрезвычайную ценность при тестировании предсказаний теории игр на данных, и в частности предсказаний о смешанных равновесиях, имеют ситуации, которые происходят за пределами лаборатории, но в которых люди играют в похожие игры.

Футбол – это такая ситуация. Причем не просто футбол – это слишком сложная игра. Конкретно один момент в нем, а именно 11-метровый удар. Один на один выступают игрок, пробивающий по воротам, и вратарь. В отличие от участников лабораторных экспериментов, и у тренеров, и у нападающих, и у вратарей есть достаточно времени, чтобы потренироваться, то есть «изучить правила». Во-вторых, у всех игроков крупных серьезных матчей, а мы говорим именно о таких, достаточно мотивации, так как часто на кону стоят большие суммы призовых. Наконец, пенальти проще изучать, потому что там не так уж много стратегий.

Можно предположить, что тот, кто бьет по воротам (особенно если речь идет о серии пенальти в конце матча), может ударить либо прямо, либо в левый угол, либо в правый, причем прямо – крайне редко, это можно игнорировать. Мяч летит со скоростью около 300 км/ч, время от нанесения удара до пересечения лицевой линии мячом – примерно 0,2 секунды. За это время у вратаря нет возможности проследить за направлением полета мяча и прыгнуть в нужную сторону, это подтверждают сами вратари в многочисленных интервью. Нужно принимать решение, прыгать налево или направо, и определиться раньше, чем противник ударит по мячу. Таким образом, вырисовывается ясная картина: у одного есть возможность пробить в левый или в правый угол, у второго – броситься в левый или в правый угол. Получаем антагонистическую игру, близкую к «камень, ножницы, бумага».

Как я уже сказал выше, для игр с нулевой суммой как раз есть убедительное предсказание. Каждый, кто играл в «камень, ножницы, бумага», знает, как надо действовать: надо быть максимально непредсказуемым. На языке теории игр это называется «смешанной стратегией»: каждый из трех ходов надо выбирать с положительной вероятностью. Более того, можно доказать, что вероятность каждого хода должна быть одинаковой – по одной трети. Если вы будете выбирать что-то одно, вы проиграете.

Аналогично и с пенальти: если вы всегда бьете в левый от себя угол и вратарь это знает, он бросится туда. Конечно, забить гол все равно можно, при условии что вы ударили по мячу со страшной силой – тогда вратарь не спасет. Но шансы намного больше, чем если вы ударите слабее, но в другой угол. То есть задача такая же, как в «камень, ножницы, бумага»: быть непредсказуемым.

Играют ли футболисты в смешанные стратегии, и если да, то с правильными ли весами? На эту тему почти одновременно (в 2002 и 2003 гг.) вышли две статьи в самых авторитетных экономических журналах, они популярно описаны в захватывающей книге «Футболономика» Саймона Купера и Стефана Шимански. Теория предсказывает, что с вероятностью 58% нужно бить в левый от себя угол, если вы правша. А в данных мы видим 57,7%. И так пробивают люди, которые никогда не изучали смешанные стратегии!

Один мой профессор (вероятно, цитируя кого-то из великих) высказал как-то поразившую меня мысль: экономика – скорее тип мышления, чем наука. Во всяком случае, экономисты смело берутся за такие разные области, как холодная война и футбол, главное – применять принятые стандарты метода, в данном случае – теории игр.

Статья основана на лекции «Почему экономика – это не только про экономический рост и совсем не про бухучет» из цикла лекций Совместного бакалавриата РЭШ и ВШЭ «Больше, чем экономика».