В начале XX века, когда над Европой сгущались тучи Первой мировой, в математике разгоралась своя война. Причиной ее стал кризис оснований математики, вызванный обнаруженными в них внутренними противоречиями и последовавшими дискуссиями о связи «царицы наук» с реальностью.
  |   Эконс

История, математика, любовь, война и бесконечность – так определяет главные темы книги «Великая математическая война» ее автор, американский научный журналист и писатель Джейсон Сократ Барди. Бесконечность – потому что споры о ее природе, порожденные работами немецкого математика Георга Кантора, стали одним из важных эпизодов математической битвы. Любовь – потому что без нее невозможно понять судьбы многих героев этой книги. Особенно судьбу Бертрана Рассела, британского математика и философа, автора ключевых для XX века трудов по математической логике – и автора парадокса, который вскрыл логическую противоречивость в самом фундаменте математики.

«Парадокс Рассела» (о его сути – в публикуемом ниже фрагменте из книги Барди) и другие изъяны, обнаруженные в основаниях своей науки, в начале XX века взялись объяснить и исправить несколько математиков – но каждый с разных сторон. Их усилия оформились в три главных враждующих лагеря великой математической войны: логицизм, формализм и интуиционизм.

Первый подход развивал сам Рассел. Брешь в основаниях математики (включая обнаруженный им парадокс) вместе со своим соавтором Альфредом Нортом Уайтхедом он пытался закрыть с помощью идеи, что математика – это просто продолжение логики. Если логика непогрешима, то и математика – тоже.

Пионером второго подхода стал немецкий математик Давид Гильберт. «Он разработал грандиозную схему: представить математику как игру, где объекты – это игровые фигуры, а аксиомы – формальные правила, определяющие результат», – рассказывает Барди. Это был масштабный план: спасти основания математики, сведя ее к строгой формальности – подобно правилам перестановки фигур на шахматной доске – для доказательства ее непротиворечивости.

Голландский математик Лейтзен Эгберт Ян Брауэр называл метод Гильберта «пустым формализмом» и предлагал альтернативу: математические объекты – не абстракции, а продолжение человеческой интуиции, которая и лежит в основе математики, а сама математика – нечто вроде пошаговой инструкции.

Великую математическую войну автор книги датирует периодом в полвека с 1883 по 1938 год, разделяя на три этапа: до, во время и после Первой мировой. Между этими двумя войнами Барди обнаруживает поразительную параллель, потому что «и то и другое было продиктовано одними причинами: ощущаемыми фундаментальными изъянами, верой в трещины в фундаменте, мнимыми экзистенциальными угрозами, столкновением мировоззрений и всей той ложью, которую мы говорим сами себе».

В интеллектуальной математической войне каждый из трех лагерей «проиграл» – а математика выиграла. Философы математики отказались от попыток присвоить ей статус «священного писания» и требовать абсолютной гарантии от философских сомнений. Это не повлияло на внутреннюю строгость, математика по-прежнему требует строгих доказательств внутри системы. Но изменение логико-философской парадигмы не помешало математике успешно развиваться, оставаясь «царицей наук», а даже наоборот: осознание ее границ сделало ее гибкой и мощной и породило новые направления науки.

Логицизм потерпел поражение, поскольку математика не сводима к чистой логике. Однако на «теории типов» Рассела, созданной им для устранения парадоксов в рамках самой концепции логицизма, построены современные языки программирования.

Формализм тоже провалился: оказалось, что непротиворечивость достаточно сложной системы, включающей арифметику, не может быть доказана ее же средствами (впоследствии эта теорема австрийского логика Курта Геделя стала метафорой, применимой к любым сложным системам в разных сферах и означающей, что ошибки в логике функционирования системы часто невозможно обнаружить изнутри нее). Однако наследием формализма Гильберта стал аксиоматический метод – стандарт современной математики. При этом математики приняли прагматическую установку: пока в системе не обнаружено противоречий и она дает содержательные результаты, она полезна, хотя строго доказать ее непротиворечивость невозможно.

Идеи интуиционизма о том, что математика – это только то, что можно «построить в уме», то есть что математический объект существует только тогда, когда существует метод его построения, оказались слишком радикальными для принятия. Однако эти идеи легли в основу описания вычислений и алгоритмов, обеспечив теоретический фундамент для создания компьютерных программ и проверки их корректности.

«Эконс» публикует отрывок из книги «Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики», которая недавно вышла в переводе на русский язык в Издательстве Института Гайдара.

Оно является, если не является; и не является, если является!

Вера и убеждения – это как костыль для хромого или мазь для раны. Конечно, польза есть от обоих. Они служат опорой сломанной кости, позволяя ей срастись. Они защищают от инфекций в нашем холодном, жестоком, кишащем бактериями мире. Но если слишком полагаться на костыль, можно лишь усугубить травмы. Хромайте слишком долго, и вы рискуете повредить колено, бедро или спину. А если вы тащите свой крест слишком далеко, опираясь всем весом на твердый костыль божественного знания и страдая от «пращей и стрел» яростных оскорблений, что-то неизбежно сломается.

Кантор не единственный, кто страдает (Георг Кантор – немецкий математик, создавший теорию множеств, основу современного математического анализа, и теорию трансфинитных – бесконечных – чисел, кардинально расширившую основы математики; однако первоначально его идеи вызвали жесткое неприятие и агрессивную критику со стороны научного сообщества. – Прим. «Эконс»). Парадокс, который Рассел обнаруживает в работе Фреге, – тот самый изъян «татуировки на лице Моны Лизы», – действительно плох (Готлоб Фреге – аналитический философ, «главный логик» конца XIX века, создатель логицизма – сведения математики к логике. – Прим. «Эконс»). Он угрожает заставить страдать всех. Почему? Парадокс Рассела возникает, когда вы рассматриваете особый тип множеств. Базовая формулировка теории множеств Кантора, которую использует Фреге, гласит, что множества сами по себе также могут быть объектами другого множества. Одно множество может быть частью большей коллекции. НБА, например, – это коллекция баскетбольных команд, каждая из которых является множеством отдельных игроков и тренеров. Одним из следствий этого является то, что некоторые множества фактически включают самих себя в качестве члена – что несколько напоминает рекламные ролики «Клуба мужчин с редеющими волосами» в 1980‑х годах («Я не только президент клуба, я еще и клиент»).

Давайте на секунду сделаем шаг назад. Если некоторые множества являются членами самих себя, то многие множества явно таковыми не являются. Возьмите совокупность всех простых чисел. Эта совокупность сама по себе не является простым числом. Следовательно, она не принадлежит самой себе. Равно как и собрание всех чайных чашек Англии на самом деле не является чайной чашкой. Значит, оно не принадлежит самому себе. Вспомните все хорошие французские рестораны в городе Дулут (весьма малое множество, надо сказать). Этот список ресторанов сам не является французским рестораном. Ни один базар – не киоск. Ни одна спортивная команда – не игрок. Ни одна армия – не солдат.

Теперь перейдем к еще более абстрактным вещам. Попробуйте представить вещи, которые невозможно представить. Сам акт представления этой группы вещей подразумевает, что она в нее не включена. Почти любое множество, о котором вы можете подумать, таково. Большинство множеств просто не принадлежат самим себе. Множества, которые не являются членами собственной коллекции, настолько распространены, что их иногда называют «нормальными» или «обычными» множествами. Даже если вы рассматриваете коллекции чисто воображаемых объектов, таких как множество всех вещей, существующих лишь в фантазиях: драконы, единороги, говорящие песчанки, дружественная к сотрудникам кадровая политика – любая коллекция таких выдуманных вещей является определенным, реальным объектом в вашем разуме и, следовательно, не является членом самой себя.

Но хотя большинство множеств не содержат самих себя, некоторые явно содержат. Множество всех множеств – хороший тому пример. Оно содержит все множества и по этому определению должно включать также и себя. Другой хороший пример – коллекция всех вещей, которые вы можете представить. Среди множества вещей, принадлежащих этому множеству, должно быть и само это множество, поскольку даже сейчас вы его представляете.

И вот здесь Рассел совершает свой главный скачок – тот, что отправляет его вниз по кроличьей норе логики на большую часть десятилетия, откуда он уже не вернется прежним. Посмотрите, как это сделал Рассел в начале 1900‑х годов, множество всех множеств, которые не являются членами самих себя. А затем задайтесь вопросом: является ли это множество членом самого себя? Ответ и есть парадокс Рассела: оно является, если не является; и не является, если является!

Кто бреет брадобрея

Классический пример, который приводит Рассел, – это занятой городской брадобрей, который бреет всех мужчин в городе, кто не бреется сам. Что произойдет, если спросить: бреет ли брадобрей самого себя? Вот тут-то и загвоздка. Если он не бреет себя, то, согласно сути его работы (брить всех, кто не бреется сам), он должен себя побрить. Но если он бреет себя, тогда то же самое условие работы по сути исключает его из этого действия. Так бреет он себя или нет? Ответ Рассела: если он делает это, то не делает; а если не делает, то делает.

Никогда в истории математики одна короткая фраза не имела такого разрушительного эффекта.

Построение множества всех множеств, которые не содержат самих себя, и доказательство того, что это ведет к парадоксу Рассела, – самая острая критика, с которой когда-либо сталкивался Фреге. Почему? Кого волнуют глупые брадобреи и бреются ли они сами? Какое это вообще имеет отношение к математике? Это похоже скорее на глупую игру слов, чем на что-либо иное. Разве противоречия не обычное дело в жизни людей?

Но это не просто остроумный речевой оборот, теоретическая игра разума или загадочное противоречие. И это не пример семантической или синтаксической двусмысленности или даже простой путаницы – тех случаев, когда говорят, что нечто может быть и тем, и этим. Это не просто неопределенность. Логическая противоречивость парадокса Рассела ставит под сомнение само понятие математического существования. Парадокс Рассела подразумевает, что вещь может быть и не быть одновременно. Но если математический объект может существовать и не существовать одновременно, значит, теория множеств противоречива. Это означает, что математическая система Фреге противоречива. И это вполне может означать, что порочна сама базовая логика.

Все это имеет ужасные последствия для математического ума, и в первую очередь – для ума Фреге. Логическая противоречивость – это криптонит для математической истины. «Худшее, с чем может столкнуться математик», – напишет швейцарский математик Ролен Вавр в 1934 году. Когда система непротиворечива, истина и ложь остаются в своих границах. Вы никогда не должны иметь возможности доказать, что нечто истинно, когда на самом деле оно ложно, или наоборот. И когда ваша система непротиворечива, вы просто не можете этого сделать.

Подумайте об этом так: мы знаем, что 0 = 0 и 1 = 1. Никогда, даже за тысячу лет, используя все математические инструменты и всех экспертов, которые когда-либо жили, вы не смогли бы доказать, что 0 = 1.

Извинения Эрнсту Цермело

Эта идея древняя. Это действительно один из самых фундаментальных принципов логики, восходящий к древнеиндийским философам, а также к классическим досократикам, таким как Парменид, учитель Зенона Элейского – того самого, что известен историей о черепахе, побеждающей Ахиллеса. Это называется Законом непротиворечия. Согласно Платону, который дает классическое определение, закон просто гласит, что A и не-A не могут быть истинными одновременно.

Выявив противоречие, в котором A и не-A оба истинны, парадокс Рассела переворачивает все с ног на голову. Это взлом и снос оснований логики Фреге. Он обнажает «бомбу замедленного действия, тикающую в сердце математики», как напишет биограф Бертрана Рассела Рональд Кларк после его смерти.

Стоит отметить: многие настаивают, что Рассел не заслуживает всей славы за свой собственный парадокс. И они не ошибаются. Немецкий математик Эрнст Фридрих Фердинанд Цермело открывает его независимо примерно в то же время, и это доказуемо, поскольку он сообщил об открытии в письме Давиду Гильберту. Кстати, это дало некоторым повод утверждать, что парадокс Рассела на самом деле должен называться парадоксом Рассела – Цермело. Для этого есть веские основания, и я признаю здесь параллельное открытие Цермело. Но большинство людей, похоже, называют его парадоксом Рассела, поэтому я выбираю этот ярлык. (Прости, Цермело!)

Но не будем пока прощаться с Цермело. Этому человеку мы должны еще одно извинение. Не называйте парадокс «парадоксом», настаивает Цермело. Вместо этого он предлагает говорить об «антиномии», подразумевая под ним неразумное противоречие между двумя в равной степени разумными убеждениями. Слово «парадокс» недостаточно, утверждает он, поскольку «оно не содержит в себе ничего от внутреннего противоречия».

И так же, как в математической литературе встречаются источники, называющие это парадоксом Рассела – Цермело, попадаются в ней и те, кто послушно использует термин «антиномия». Но когда я вижу это слово, мой взгляд тускнеет. Оно звучит вяло. Это неудачный ярлык. Провальный брендинг. Подражая на мгновение горестным стенаниям Бертрана Рассела, скажу: каждый раз, когда я вижу этот термин, я искренне желаю, чтобы меня переехал поезд. Как убежденный сторонник простого языка, я могу сказать вам, почему этот термин так и не прижился. У каждого есть хоть какое-то понятие о том, что такое парадокс, пусть даже неверное, но я сомневаюсь, что хотя бы один из ста сможет сказать хоть слово об антиномии. Поэтому, вновь признавая величие Цермело, я тем не менее игнорирую его высшую мудрость. (Снова прости, Цермело!)

Omni copia paradoxon

Представьте спектр эмоций на лице Фреге, когда он читает письмо Рассела. Интрига. Восторг. Пауза. Удивление. Тревога. Гнев. Печаль. Шок. «Ваше открытие противоречия вызвало у меня величайшее изумление и, я бы сказал, смятение», – наконец отвечает Фреге Расселу. И это еще мягко сказано. Некоторые источники уверяют, что Фреге был сражен наповал. И неудивительно. «[Ваш парадокс] пошатнул основания, на которых я намеревался построить арифметику», – пишет он Расселу. Другими словами: «Премного благодарен; вы только что уничтожили последние 20 лет моей жизни!»

Представьте, что вы работаете большую часть сознательной жизни ради одной цели, а затем, в возрасте 54 лет, какой-то сопливый юнец 20 с лишним лет выбивает у вас почву из-под ног. Фреге понимает неизбежное. Он отдает должное письму Рассела, добавляя послесловие к своей третьей книге. Но у него нет ни мужества, ни воли идти дальше. «Ученому вряд ли может встретиться что-либо более нежелательное, чем когда фундамент рушится в тот момент, когда работа уже закончена, – пишет он в своей книге. – В такое положение я был поставлен письмом от мистера Бертрана Рассела, когда книга уже почти вышла из печати». Рассел искренне впечатлен тем, как достойно Фреге принимает удар. «Стоять на пороге публикации второго тома великого труда всей жизни и увидеть, как все это перечеркивается в одну секунду гораздо более молодым математиком… – пишет Рассел коллеге. – В этом было что-то сверхчеловеческое».

* * *

Сложности с основаниями математики не ограничиваются парадоксом Рассела. Совокупный эффект всех парадоксов вместе бросает тень сомнения на убедительность современной математики. Тем не менее самым большим из них, «матерью всех антиномий», как сказал бы Цермело, остается парадокс Рассела. Он бьет в самое сердце математики и, согласно американскому философу математики Вильфриду Зигу, оказывает «прямо-таки катастрофическое воздействие на мир математики». Почему? Вспомним принцип гнилого яблока. Если из фундаментальной логики системы можно вывести хотя бы один пример противоречия, то, очевидно, могут возникнуть и другие.

Поэтому поиск решения парадокса Рассела и исправление этого фундаментального изъяна считается критически важным – хотя сам Фреге не станет этого делать. Он чувствует себя сломленным. Работа всей его жизни… оказалась несостоятельной! Он пишет еще несколько статей после этого, но по большому счету оставляет свои планы доказать, что математика может быть сведена к логике. (Хотя позже, ближе к концу жизни, у него случается краткое озарение, и он решает, что в основе математики должна лежать геометрия, а не логика.)

Многие другие, однако, не готовы сидеть сложа руки и позволять своей области мучиться от парадоксов. «Казалось, что возмездием за грех вкушения от древа познания бесконечности стало самопротиворечие, – напишет американский математик Говард Делонг в 1970 году. – Догмы прошлого были несостоятельны, требовался новый подход». Новый подход заключался в использовании математических методов и разработке новой математической логики для решения проблемы. Главным сторонником этого подхода выступает сам Рассел. После обмена письмами с Фреге в 1902 году он клянется найти способ обойти свой собственный парадокс.

Теория множеств Кантора может служить прочной основой для математики тогда и только тогда, когда ее удастся освободить от парадоксов, и Рассел считает, что он именно тот человек, который это сделает. И почему бы нет? Он обладает огромным влиянием. Он распространит это влияние и наполнит область своей позитивной энергией. Он не один такой. Другие последуют за ним, он в этом уверен. И он не ошибается. Всякий серьезный подход к теории множеств в современном мире уходит корнями в попытки решить парадокс Рассела, пишет ученый Кевин К. Клемент в эссе 2007 года под названием «Новый век в жизни парадокса».

Но Рассел все же не прав. Точнее, не совсем прав.